تاریخچه

بررسی پیشــینه سیستمهای دینــامیکی نشان می دهد که مطالعه این سیستمها از اواسط سالهای 1600 میلادی با کشف قوانیــن جاذبه و حرکت و معرفی معادلات دیفرانسیــل توسط نیوتــن و توجیه قوانین کپلــر در مورد حرکت سیــارات بر پایه آنها، شکل گرفته است. بدین ترتیب نیوتــن قادر به حل مسئله دو جسم (حرکت زمیــن به دور خورشیــد) گردید و نتیجه ایــن بود که نیروی جاذبه گرانشی متنــاسب با عکس مجذور فاصله بیــن آنها برقرار است.  تلاش ریاضیــدانها و فیــزیکدانها برای تعمیم مسئله به سه جسم (خورشیــد – زمیــن – مــاه)، منجر به فهم این نکتــه شد که حل مسئله سه جسم اساسا غیرممکن است. تلاش برای یافتن پاسخ مسئله زمانی به اوج خود رسید که پادشاه سوئد پاداش بزرگی برای سوالی که مطرح نمود، تعیین کرد: «آیا منظومه شمسی پایدار است»؟ در اواخــر 1800 میلادی شخصی به نام «هانــری پوانــکاره» (Hanry Poincare) با دید جدیدی به مسئله نگریست. او به جای این که بخواهد مکان دقیق سیــارات را در تمام زمانها به دست آورد، مسئله پایداری یا ناپایداری سیستم خورشیدی را مورد توجه قرار داده و امکان بروز آشوب را مطــرح ساخت، اما متاسفانه تا اوایل قرن بیستم توجه چندانی به مسئله آشوب نشد.

از جمله مسائلی که آشوب را مورد توجه قرار داد نوسانگــرهای غیرخطی و کاربرد آنها در فیــزیک و علوم مهنــدسی از جمله در: لیــزر، رادار، رادیــو و ... بود.  با کشف کامپیوترهای با سرعت بالا در اواخر دهه 1950 میلادی، دانشمندان توانستند معادلاتی را حل نمایند که قبل از آن ممکن نبود و لذا درک و آگاهی در مورد سیستمهای غیرخطی افزایش یافت.  گام مهمی که در این زمینه برداشته شد، توسط «ادوارد لورنتــس» (Lorentz Edward) در 1963 میلادی با معرفی حرکت آشوبناک در جذب کننده های عجیب صورت گرفت. در ادامه افراد دیگری آثار تجربی آشوب را در سیالها، اندرکنشهای شیمیایی، مدارهای الکتــرونیکی، نوسانگرهای مکانیــکی و نیمه رساناها بررسی نمودند.  در دهه 1970 میلادی دو شاخه دیگــر در دینامیــک معرفی شدند. یکی از آنها «فراکتــالها» بودند که توسط «منــدل بــروت» ارائه شدند و شکلهای گرافیکــی زیبــایی را شامل می شدنــد که توسط کامپیوتــر به دست می آمد، دیگــری نیز توسط «وینفــری» ارائــه شد که در حوزه بیــولوژی – ریــاضی کاربرد داشت. او نوسانگرهای غیرخطی را در بیــولوژی به کار بــرد.

ماهیت سیستم های دینامیکی تعریف شاخه های ان: از آنجا که عنوان سیستمهای دینامیکی به سیستمهایی داده می شود که در گذر زمان دستخوش تحول می شوند، لذا یک سیستم دینامیکی را می توان توسط سه پارامتر زمان، حالتها(states) و قاعده هایی که بیانگر نحوه تحول این سیستمهاست، شکل داد.  برای درک سیستم دینامیکی بایستی بر شرایط اولیه حاکم بر سیستم و شرایط مرزی آن احاطه داشت. اگر تعداد حالتها در حین تحول سیستم تغییر نکند، سیستم را بسته(Thermostated system) و در غیر این صورت، سیستم را باز(open system) در نظر می گیرند.  سیستمهای دینامیکی را با توجه به رابطه ای که میان پارامتر سرعت و موقعیت در آنها وجود دارد، به دو گروه تقسیم می نمایند:

     سیستم های دینامیکی خطی: سیستمهایی که در آنها یک رابطه خطی میان سرعت و موقعیت برقرار می شود، سیستمهای خطی به شمار می آیند. تکامل تدریجی سیستمهای دینامیکی خطی نیز فرآیندی خطی است. اگر دو جواب برای سیستم خطی داشته باشیم مجموع آنها نیز یک جواب برای سیستم است. هم چنین سیستمهای خطی از این قابلیت برخوردار هستند که آنها را می توان با تجزیه مسئله به اجزا کوچکتر مورد بررسی قرار داده و سپس با جمع بندی نتایج، به تحلیل کلی آنها اقدام کرد و این از جمله مواردی است که تحلیل سیستمهای خطی را آسان می سازد (مانند آنالیز فوریه، مباحث برهم نهی و ...). در نهایت می توان گفت که تجزیه و تحلیل معادلات مربوط به این سیستمها شناخته شده است.

           سیستم های دینامیکی غیرخطی: در سیستمهای دینامیکی غیرخطی رابطه میان سرعت و موقعیت غیرخطی می باشد. در چنین سیستمی اگر دو جواب داشته باشیم مجموع آنها جواب دیگر سیستم نمی باشد. سیستم دینامیکی غیرخطی را نمی توان به اجزا کوچکتر تقسیم نموده و هر یک را جداگانه حل کرد، بلکه باید کل سیستم را با هم و یکجا مطالعه و بررسی کرد (برای مثال، وقتی که قسمتهایی از یک سیستم تداخل می کنند یا با هم کار می کنند یک برهمکنش غیرخطی اتفاق می¬افتد و اصل برهم نهی شکست می خورد). پس می توان گفت که معادلات مربوط به تحول در این سیستمها حل تحلیلی ندارند و یا حل تحلیلی آنها بسیار مشکل است. برای تجزیه و تحلیل چنین معادلاتی، دینامیک غیرخطی که در سه بعد منجر به آشوب می گردد مورد استفاده قرار می گیرد؛ از اینرو برای تحلیل سیستمهای غیرخطی آشنایی با یک سری مفاهیم اولیه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در یک بعد)، سیکلهای محدود(limit cycles) (در دو بعد) و فراکتالها یعنی اشکالی با ابعاد غیر صحیح (در سه بعد) لازم است.  سیستمهای دینامیکی غیرخطی را می توان به دو طریق مورد مطالعه قرار داد:  در صورتی که تحول در سیستم نسبت به زمان به صورت پیوسته باشد از معادله دیفرانسیل استفاده می شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ میرا یا معادله گرما؛ اما اگر سیستم به صورت گسسته با زمان تحول یابد، به عبارت دیگر در صورتی که زمان به عنوان عامل جداگانه ای در نظر گرفته شود سیستم در قالب نگاشتهای تکرار(Iterated maps) مطالعه می گردد، مانند نگاشت لجستیک(Logistic map).

مطالعه سیستمهای دینامیکی غیرخطی هم اکنون سرلوحه مطالعات در بسیاری از علوم از جمله در: فیزیک، نجوم، ریاضیات، بیولوژی، شیمی، اقتصاد، علوم کامپیوتر، هواشناسی و علوم پزشکی می باشد. واما متخصصان این رشته قادر به ارایه نظریاتی از قبیل: -تحلیل سیستم های دینامیکی در علوم زیستی جمعیتی واقتصاد با استفاده از نظریه اشوب -ارایه طرح هایی برای شبیه سازی سیستم -ارایه راه کارهایی برای جریان یک بعدی اب در خاک بااستفاده از روش عملگر خطی - روش های تحمیلی وتقریبی برای حل معادلات دیفرانسیل عادی و پاره ای - و محاسبان قهاری در حل مسایل ریاضی موجود در فناوری هیدرو فرمیک وکاربردان در ساخت خودرو